Tema 6: Rendiment i potència
24.1 Rendiment
Enunciat: Problema 15.1.
El temps d’execució d’un programa és \(t_{exe} = N \cdot \text{CPI} \cdot t_c = N \cdot \text{CPI} / f\) (Equació 6.3):
\[t_{P1} = \frac{2 \cdot 10^6 \cdot 1{,}5}{2 \cdot 10^9} = 1{,}5 \text{ ms} \qquad t_{P2} = \frac{2 \cdot 10^6 \cdot 1}{2{,}5 \cdot 10^9} = 0{,}8 \text{ ms} \qquad t_{P3} = \frac{10^6 \cdot 0{,}75}{3 \cdot 10^9} = 0{,}25 \text{ ms}\]
a) El processador més ràpid és P3. Les diferències:
\[\frac{t_{P1}}{t_{P3}} = \frac{1{,}5}{0{,}25} = 6 \times \qquad \frac{t_{P2}}{t_{P3}} = \frac{0{,}8}{0{,}25} = 3{,}2 \times\]
P3 és 6 vegades més ràpid que P1 i 3,2 vegades més ràpid que P2.
b) P1 i P2 executen el mateix programa amb el mateix ISA i, per tant, el mateix nombre d’instruccions (\(N\)). El guany (speedup) \(t_{P1}/t_{P2} = \text{CPI}_{P1} \cdot f_{P2} / (\text{CPI}_{P2} \cdot f_{P1})\) no depèn de \(N\): P1 i P2 es poden comparar directament.
En canvi, P1 i P3 usen ISA diferent (RISC-V vs. x86-64): el mateix programa font compila a un nombre d’instruccions diferent. Sense conèixer \(N\), P1 i P3 no es poden comparar.
c) No, en cap dels dos casos: el CPI és una propietat del parell processador–programa. Per comparar dos processadors en general caldria el CPI mitjà sobre tots els programes. Si el CPI donat fos la mitjana sobre tots els programes:
- P1 i P2 usen el mateix ISA: si també fan servir el mateix compilador (l’enunciat no ho diu), el nombre d’instruccions és el mateix per a qualsevol programa, i la comparació és vàlida.
- P1 i P3 usen ISA diferent: el nombre d’instruccions varia per a cada programa, i la comparació general continua sense ser vàlida.
Enunciat: Problema 15.2.
\[t_{P1} = \frac{10^6 \cdot 1{,}25}{4 \cdot 10^9} = 312{,}5 \ \mu\text{s} \qquad t_{P2} = \frac{10^6 \cdot 0{,}75}{3 \cdot 10^9} = 250 \ \mu\text{s}\]
a) P2 és més ràpid. El guany de P2 respecte de P1:
\[s = \frac{t_{P1}}{t_{P2}} = \frac{312{,}5}{250} = 1{,}25 \times\]
b) En el temps \(t_{P1} = 312{,}5 \ \mu\text{s}\), P2 pot executar:
\[N_{P2} = t_{P1} \cdot \frac{f_{P2}}{\text{CPI}_{P2}} = 312{,}5 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{3 \cdot 10^9}{0{,}75} = 1{,}25 \cdot 10^6 \text{ instruccions}\]
Enunciat: Problema 15.3.
Es pren \(N_{orig}\) com a referència: el nombre d’instruccions sense unitat de coma flotant. El 20 % correspon a instruccions de les subrutines de coma flotant (CF); el 80 % restant, a instruccions d’altres tipus. Totes les instruccions amb CPI = 3 i \(t_c = 1\) ns:
\[t_{orig} = N_{orig} \cdot 3 \cdot 1 \text{ ns} = 3\,N_{orig} \text{ ns}\]
Amb la unitat de coma flotant, el nombre d’instruccions de coma flotant executades es redueix 10 vegades (enunciat). Les instruccions no-CF no canvien:
\[N_{nou} = 0{,}80\,N_{orig} + \frac{0{,}20\,N_{orig}}{10} = 0{,}82\,N_{orig}\]
Amb \(t_c = 1{,}05\) ns i CPI = 4 per a totes les instruccions:
\[t_{nou} = 0{,}82\,N_{orig} \cdot 4 \cdot 1{,}05 \text{ ns} = 3{,}444\,N_{orig} \text{ ns}\]
a)
\[s = \frac{t_{orig}}{t_{nou}} = \frac{3}{3{,}444} \approx \mathbf{0{,}87}\]
El processador amb unitat de coma flotant té un rendiment un 13 % inferior (triga un 14,8 % més: \(3{,}444/3 \approx 1{,}148\)): no val la pena. Tot i que el nombre d’instruccions es redueix (×0,82), la reducció no compensa l’augment del CPI (de 3 a 4) ni l’allargament del cicle (×1,05).
b) Amb CF = 40 %:
\[N_{nou} = 0{,}60\,N_{orig} + \frac{0{,}40\,N_{orig}}{10} = 0{,}64\,N_{orig}\]
\[t_{nou} = 0{,}64\,N_{orig} \cdot 4 \cdot 1{,}05 \text{ ns} = 2{,}688\,N_{orig} \text{ ns}\]
\[s = \frac{3}{2{,}688} \approx \mathbf{1{,}12}\]
Amb el 40 % de CF sí que val la pena afegir la unitat de coma flotant (millora del 12 %). La reducció d’instruccions és prou gran per compensar els efectes negatius sobre el CPI i el temps de cicle.
Enunciat: Problema 15.4.
a) El nombre de cicles totals és la suma de cicles per tipus:
| Tipus | Instruccions | CPI | Cicles |
|---|---|---|---|
| Aritmètiques | 500 | 1 | 500 |
| Escriptura | 50 | 5 | 250 |
| Lectura | 100 | 5 | 500 |
| Salt | 50 | 2 | 100 |
| Total | 700 | 1 350 |
\[t_{exe} = 1350 \text{ cicles} \cdot 1 \text{ ns/cicle} = \mathbf{1{,}35} \ \mu\text{s}\]
b)
\[\text{CPI} = \frac{1350 \text{ cicles}}{700 \text{ instruccions}} \approx 1{,}93\]
c) Amb 50 instruccions de lectura (en comptes de 100):
\[\text{Cicles}_{opt} = 500 + 250 + 50 \cdot 5 + 100 = 1100\]
\[s = \frac{1350}{1100} \approx \mathbf{1{,}23} \times \qquad \text{CPI}_{opt} = \frac{1100}{650} \approx 1{,}69\]
Enunciat: Problema 15.5.
a) El CPI mitjà es calcula com la mitjana ponderada per la freqüència de cada classe:
\[\text{CPI}_{P1} = 0{,}10 \cdot 1 + 0{,}20 \cdot 2 + 0{,}50 \cdot 3 + 0{,}20 \cdot 4 = 0{,}1 + 0{,}4 + 1{,}5 + 0{,}8 = \mathbf{2{,}8}\]
\[\text{CPI}_{P2} = 0{,}10 \cdot 2 + 0{,}20 \cdot 2 + 0{,}50 \cdot 2 + 0{,}20 \cdot 2 = \mathbf{2{,}0}\]
b) Per a \(N = 10^6\) instruccions:
\[t_{P1} = \frac{10^6 \cdot 2{,}8}{1{,}5 \cdot 10^9} \approx 1{,}867 \text{ ms} \qquad t_{P2} = \frac{10^6 \cdot 2{,}0}{2{,}0 \cdot 10^9} = 1{,}000 \text{ ms}\]
P2 és més ràpid. El guany:
\[s = \frac{t_{P1}}{t_{P2}} = \frac{N \cdot \text{CPI}_{P1} / f_{P1}}{N \cdot \text{CPI}_{P2} / f_{P2}} = \frac{\text{CPI}_{P1} \cdot f_{P2}}{\text{CPI}_{P2} \cdot f_{P1}} = \frac{2{,}8 \cdot 2{,}0}{2{,}0 \cdot 1{,}5} = \frac{28}{15} \approx \mathbf{1{,}87} \times\]
Observació: P2 té un CPI uniforme de 2 per a totes les classes. Això reflecteix que un disseny amb CPI uniforme pot ser competitiu si la freqüència de rellotge és prou alta.
Enunciat: Problema 15.6.
Sigui \(N\) el nombre d’instruccions amb el multiplicador per maquinari. El 0,5 % de \(N\) són multiplicacions (1 instrucció, CPI = 40); el 99,5 % restant té CPI = 3.
Sense multiplicador: cada multiplicació s’expandeix a una subrutina de 200 instruccions. Les \(0{,}005N\) multiplicacions passen a \(0{,}005N \cdot 200 = N\) instruccions de subrutina, totes amb CPI = 3:
\[N_{orig} = 0{,}995N + 0{,}005N \cdot 200 = 1{,}995N\]
a) Comparació a freqüència idèntica (\(f = 2\) GHz):
\[t_{orig} = 1{,}995N \cdot 3 \cdot t_c = 5{,}985N \cdot t_c\]
\[t_{nou} = N \cdot (0{,}005 \cdot 40 + 0{,}995 \cdot 3) \cdot t_c = N \cdot 3{,}185 \cdot t_c\]
\[s = \frac{5{,}985}{3{,}185} = \frac{1197}{637} \approx \mathbf{1{,}88} \times\]
b) Per no empitjorar el rendiment cal \(t_{nou}(f_{nou}) \leq t_{orig}(2 \text{ GHz})\):
\[\frac{N \cdot 3{,}185}{f_{nou}} \leq \frac{1{,}995N \cdot 3}{2 \cdot 10^9}\]
\[f_{nou} \geq \frac{2 \cdot 10^9 \cdot 3{,}185}{5{,}985} = \frac{1274}{1197} \cdot 10^9 \approx \mathbf{1{,}064} \text{ GHz}\]
La freqüència mínima acceptable és aproximadament 1,06 GHz, força per sota dels 2 GHz originals. El multiplicador per maquinari és clarament beneficiós fins i tot amb una degradació significativa de la freqüència de rellotge.
Enunciat: Problema 15.7.
Cas a (\(t_{orig} = 200\) s: CF = 35 s, Enters = 85 s, lectura/escriptura (L/E) = 50 s, Salt = 30 s)
a) Es redueix el temps de CF un 20 % (\(35 \text{ s} \to 28 \text{ s}\)):
\[t_{nou} = 200 - 35 + 28 = 193 \text{ s} \qquad s = \frac{200}{193} \approx 1{,}036 \times\]
b) Objectiu: \(s = 1{,}20\), és a dir, \(t_{nou} = 200/1{,}20 \approx 166{,}7\) s. El temps restant sense enters és \(200 - 85 = 115\) s. Cal que el nou temps d’enters sigui:
\[t_{Enters,nou} = 166{,}7 - 115 = 51{,}7 \text{ s} \quad \Rightarrow \quad \text{reducció} = \frac{85 - 51{,}7}{85} \approx \mathbf{39{,}2\ \%}\]
c) El guany màxim possible millorant únicament els salts (fins a reduir-ne el temps a 0) és:
\[s_{max} = \frac{200}{200 - 30} = \frac{200}{170} \approx 1{,}18 \times\]
Com que \(1{,}18 < 1{,}25\) (reduir un 20 % equival a \(s = 1{,}25\)), no és possible.
Cas b (\(t_{orig} = 210\) s: CF = 50 s, Enters = 80 s, L/E = 50 s, Salt = 30 s)
a) Es redueix el temps de CF un 20 % (\(50 \text{ s} \to 40 \text{ s}\)):
\[t_{nou} = 210 - 50 + 40 = 200 \text{ s} \qquad s = \frac{210}{200} = 1{,}05 \times\]
b) \(t_{nou} = 210/1{,}20 = 175\) s; temps sense enters = \(210 - 80 = 130\) s:
\[t_{Enters,nou} = 175 - 130 = 45 \text{ s} \quad \Rightarrow \quad \text{reducció} = \frac{80 - 45}{80} = \mathbf{43{,}75\ \%}\]
c) \(s_{max}\) per als salts:
\[s_{max} = \frac{210}{210 - 30} = \frac{210}{180} \approx 1{,}17 \times < 1{,}25\]
Tampoc és possible en el cas b.
24.2 Llei d’Amdahl
Enunciat: Problema 15.8.
La llei d’Amdahl (Equació 6.6) dona el guany global quan s’accelera una fracció \(P_x\) del temps d’execució amb un guany \(s_x\):
\[s = \frac{1}{(1 - P_x) + P_x/s_x}\]
Aquí \(P_x = 0{,}60\) (CF), fracció no millorada \(= 0{,}40\).
a) Amb \(s_x = 5\):
\[s = \frac{1}{0{,}40 + 0{,}60/5} = \frac{1}{0{,}40 + 0{,}12} = \frac{1}{0{,}52} = \frac{25}{13} \approx \mathbf{1{,}92} \times\]
b) Quan \(s_x \to \infty\), el terme \(P_x/s_x \to 0\) (Equació 6.7):
\[s_{max} = \frac{1}{1 - P_x} = \frac{1}{0{,}40} = \mathbf{2{,}5} \times\]
Independentment de com s’accelerin les instruccions CF, el guany global no pot superar 2,5, perquè el 40 % restant és un coll d’ampolla irreductible.
c) Amb \(s = 3\):
\[3 = \frac{1}{0{,}40 + 0{,}60/s_x} \implies 0{,}40 + \frac{0{,}60}{s_x} = \frac{1}{3} \implies \frac{0{,}60}{s_x} = \frac{1}{3} - 0{,}40 = -\frac{1}{15}\]
El resultat és negatiu, cosa que és impossible. La raó és que el guany màxim teòric és 2,5, estrictament inferior a 3: no existeix cap valor de \(s_x\) que permeti assolir un guany global de 3 amb aquesta distribució del temps.
Enunciat: Problema 15.9.
Quan s’apliquen múltiples millores simultànies, la llei d’Amdahl es generalitza:
\[s = \frac{1}{\left(1 - \displaystyle\sum_x P_x\right) + \displaystyle\sum_x \frac{P_x}{s_x}}\]
on \(P_x\) és la fracció del temps original que ocupa el component \(x\) i \(s_x\) el guany d’aquest component. En aquest problema, els tres components cobreixen el 100 % del temps (\(\sum_x P_x = 1\)), de manera que el primer terme s’anul·la i l’expressió es redueix a \(s = 1/\sum_x (P_x/s_x)\).
a) Aplicant les tres millores:
\[s = \frac{1}{\dfrac{0{,}50}{2} + \dfrac{0{,}30}{4} + \dfrac{0{,}20}{1{,}5}} = \frac{1}{0{,}250 + 0{,}075 + 0{,}1\overline{3}} = \frac{1}{11/24} = \frac{24}{11} \approx \mathbf{2{,}18} \times\]
b i c) Guany aplicant cada millora individualment:
| Component | \(P_x\) | \(s_x\) | \(s\) (millora sola) |
|---|---|---|---|
| Unitat entera | 50 % | 2× | \(1/(0{,}50 + 0{,}50/2) = 1{,}33\times\) |
| Unitat CF | 30 % | 4× | \(1/(0{,}70 + 0{,}30/4) = 1{,}29\times\) |
| Accés a memòria | 20 % | 1,5× | \(1/(0{,}80 + 0{,}20/1{,}5) = 1{,}07\times\) |
La millora individual amb més impacte és la de la unitat entera (\(s = 1{,}33\times\)), tot i que la seva millora disponible (\(2\times\)) no és la més gran (la de CF és de \(4\times\)). La llei d’Amdahl explica per què: el que determina l’impacte és principalment la fracció de temps (\(P_x = 50\ \%\)), no el factor de millora.
Si el pressupost permet una sola millora, s’ha d’escollir la unitat entera: maximitza el guany global perquè actua sobre el component dominant en temps.
Enunciat: Problema 15.10.
a) Es vol \(s = 10\) amb \(s_x = 20\). De la llei d’Amdahl:
\[10 = \frac{1}{(1 - P_x) + P_x/20} \implies \frac{1}{10} = 1 - P_x + \frac{P_x}{20} = 1 - P_x\left(1 - \frac{1}{20}\right) = 1 - \frac{19 P_x}{20}\]
\[\frac{19 P_x}{20} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \implies P_x = \frac{9}{10} \cdot \frac{20}{19} = \frac{18}{19} \approx \mathbf{94{,}7\ \%}\]
Per anunciar un guany de 10 basant-se exclusivament en les instruccions CF, caldria que el 94,7 % del temps d’execució fos de coma flotant — una condició molt restrictiva que pocs programes reals compleixen.
b) En un programa típic amb \(P_x = 0{,}35\):
\[s = \frac{1}{0{,}65 + 0{,}35/20} = \frac{1}{0{,}65 + 0{,}0175} = \frac{1}{0{,}6675} \approx \mathbf{1{,}50} \times\]
Molt lluny del 10× anunciat.
c) El guany màxim assolible amb \(P_x = 0{,}35\), independentment de \(s_x\):
\[s_{max} = \frac{1}{1 - 0{,}35} = \frac{1}{0{,}65} \approx \mathbf{1{,}54} \times\]
Amb instruccions CF infinitament ràpides, el guany tendiria a 1,54× sense poder superar-lo. Això posa de manifest el missatge fonamental de la llei d’Amdahl: el guany màxim queda sempre limitat per la fracció de temps no millorada, per gran que sigui la millora aplicada a la part optimitzada.
Enunciat: Problema 15.11.
a) El nombre de cicles totals és la suma per tipus d’instruccions:
| CF | Enters | L/E | Salt | Total | |
|---|---|---|---|---|---|
| Proc. A | 90·2 = 180 | 240·1,5 = 360 | 150·6 = 900 | 120·3 = 360 | 1800 |
| Proc. B | 45·3 = 135 | 225·1 = 225 | 135·5 = 675 | 45·2 = 90 | 1125 |
\[\text{CPI}_A = \frac{1800}{600} = \mathbf{3{,}0} \qquad \text{CPI}_B = \frac{1125}{450} = \mathbf{2{,}5}\]
b) Perquè tots dos processin el programa en el mateix temps:
\[\frac{N_A \cdot \text{CPI}_A}{f_A} = \frac{N_B \cdot \text{CPI}_B}{f_B} \implies \frac{f_A}{f_B} = \frac{N_A \cdot \text{CPI}_A}{N_B \cdot \text{CPI}_B} = \frac{\text{cicles}_A}{\text{cicles}_B} = \frac{1800}{1125} = \mathbf{1{,}6}\]
El processador A ha de funcionar a una freqüència 1,6 vegades superior a la de B per igualar el seu temps d’execució.
c) Si les instruccions L/E del processador A s’executessin en 0 cicles, els cicles totals serien \(1800 - 900 = 900\):
\[s = \frac{1800}{900} = \mathbf{2{,}0} \times\]
Equivalent a aplicar la llei d’Amdahl amb \(P_{L/E} = 900/1800 = 50\ \%\) del temps i \(s_{L/E} \to \infty\): \(s_{max} = 1/(1 - 0{,}5) = 2\times\).
24.3 Potència
Enunciat: Problema 15.12.
La potència dinàmica en circuits complementary metal–oxide–semiconductor (CMOS) és \(P_d = \alpha \cdot C \cdot V_{CC}^2 \cdot f\) (Equació 6.9, amb un factor d’activitat \(\alpha = 1\)).
a) S’aïlla la capacitat equivalent (capacitància) \(C = P_d / (V_{CC}^2 \cdot f)\):
\[C_A = \frac{2 \text{ W}}{(5 \text{ V})^2 \cdot 10 \cdot 10^6 \text{ Hz}} = \frac{2}{250 \cdot 10^6} = \mathbf{8 \text{ nF}}\]
\[C_B = \frac{100 \text{ W}}{(1 \text{ V})^2 \cdot 3 \cdot 10^9 \text{ Hz}} = \frac{100}{3 \cdot 10^9} \approx \mathbf{33{,}3 \text{ nF}}\]
b) Amb la mateixa tensió i capacitància de A, però amb \(f = f_B = 3\) GHz:
\[P_{d,A}' = C_A \cdot V_{CC,A}^2 \cdot f_B = 8 \cdot 10^{-9} \cdot 25 \cdot 3 \cdot 10^9 = \mathbf{600 \text{ W}}\]
Aquesta potència és absolutament inassolible a la pràctica, i il·lustra per què no n’hi ha prou d’augmentar la freqüència sense reduir el voltatge: la potència creix linealment amb \(f\).
Enunciat: Problema 15.13.
a i e) Ràtios entre generacions consecutives i capacitats equivalents (\(C = P_d / (V_{CC}^2 \cdot f)\)):
| Gen | Processador | \(f\) | \(V_{CC}\) | \(P_d\) | \(r_f\) | \(r_P\) | \(C\) (nF) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 80286 | 12,5 MHz | 5,0 V | 3,3 W | — | — | 10,56 |
| 2 | 80386 | 16 MHz | 5,0 V | 4,1 W | 1,28 | 1,24 | 10,25 |
| 3 | 80486 | 25 MHz | 5,0 V | 4,9 W | 1,56 | 1,20 | 7,84 |
| 4 | Pentium | 66 MHz | 5,0 V | 10,1 W | 2,64 | 2,06 | 6,12 |
| 5 | Pentium Pro | 200 MHz | 3,3 V | 29,1 W | 3,03 | 2,88 | 13,36 |
| 6 | P4 Willamette | 2 GHz | 1,75 V | 75,3 W | 10,00 | 2,59 | 12,29 |
| 7 | P4 Prescott | 3,6 GHz | 1,25 V | 103 W | 1,80 | 1,37 | 18,31 |
| 8 | Core 2 Kentsfield | 2,667 GHz | 1,1 V | 95 W | 0,74 | 0,92 | 29,44 |
Exemple de càlcul per a la generació 5 (Pentium Pro):
\[C_5 = \frac{29{,}1 \text{ W}}{(3{,}3 \text{ V})^2 \cdot 200 \cdot 10^6 \text{ Hz}} = \frac{29{,}1}{10{,}89 \cdot 2 \cdot 10^8} \approx 13{,}36 \text{ nF}\]
b) La ràtio màxima de freqüència es produeix entre les generacions 5 i 6 (de 200 MHz a 2 GHz): \(r_f = 10\). La ràtio màxima de potència es produeix entre les generacions 4 i 5: \(r_P \approx 2{,}88\).
c) La mitjana geomètrica de les 7 ràtios entre generacions consecutives:
\[\bar{r}_f = \left(\prod_{i=1}^{7} r_{f,i}\right)^{1/7} = \left(1{,}28 \cdot 1{,}56 \cdot 2{,}64 \cdot 3{,}03 \cdot 10 \cdot 1{,}80 \cdot 0{,}74\right)^{1/7} \approx \mathbf{2{,}15} \times\]
\[\bar{r}_P = \left(\prod_{i=1}^{7} r_{P,i}\right)^{1/7} = \left(1{,}24 \cdot 1{,}20 \cdot 2{,}06 \cdot 2{,}88 \cdot 2{,}59 \cdot 1{,}37 \cdot 0{,}92\right)^{1/7} \approx \mathbf{1{,}62} \times\]
El producte de les ràtios és el quocient entre la darrera generació i la primera, de manera que \(\bar{r}_f = (f_8/f_1)^{1/7}\) i \(\bar{r}_P = (P_8/P_1)^{1/7}\): és el que relaciona aquest apartat amb el d).
d) Respecte de la generació 1:
\[\frac{f_8}{f_1} = \frac{2{,}667 \cdot 10^9}{12{,}5 \cdot 10^6} \approx \mathbf{213} \times \qquad \frac{P_8}{P_1} = \frac{95}{3{,}3} \approx \mathbf{28{,}8} \times\]
Observació: a partir de la generació 7 (Pentium 4 Prescott, 2004), la freqüència deixa de créixer —a la 8 fins i tot baixa— i la potència es redueix lleugerament, com situa A6 cap al 2003–2005 (Aprofundiment 6.2). Això marca el final de l’era del creixement de la freqüència com a via principal per millorar el rendiment.
Enunciat: Problema 15.14.
a) Percentatge de cada component sobre la potència total:
| Tecnologia | \(P_d\) | \(P_s\) | \(P\) | % dinàmica | % estàtica |
|---|---|---|---|---|---|
| 250 nm | 49 W | 1 W | 50 W | 98 % | 2 % |
| 90 nm | 75 W | 45 W | 120 W | 62,5 % | 37,5 % |
Els corrents de fuita passen de ser negligibles (2 %) a representar el 37,5 % de la potència total en passar de 250 nm a 90 nm. Aquesta és una de les raons principals per les quals la miniaturització porta associada una importància creixent del consum estàtic.
b) De \(P_{s} = V_{CC} \cdot I_{fuita}\) (Equació 6.11):
\[I_{fuita,250} = \frac{1 \text{ W}}{3{,}3 \text{ V}} \approx \mathbf{0{,}303 \text{ A}}\]
\[I_{fuita,90} = \frac{45 \text{ W}}{1{,}1 \text{ V}} \approx \mathbf{40{,}9 \text{ A}}\]
Malgrat que el voltatge s’ha reduït de 3,3 V a 1,1 V (factor 3), el corrent de fuita s’ha multiplicat per 135. Això reflecteix la dificultat creixent de mantenir els transistors en tall quan les dimensions disminueixen.
c) La reducció màxima de \(P\) eliminant tota la \(P_d\) és, per a cada tecnologia, el percentatge de la potència dinàmica sobre la total:
\[\Delta P_{250} = \frac{49}{50} = \mathbf{98\ \%} \qquad \Delta P_{90} = \frac{75}{120} = \mathbf{62{,}5\ \%}\]
En la tecnologia de 90 nm, la reducció màxima possible de \(P\) actuant exclusivament sobre la potència dinàmica és del 62,5 %; la potència estàtica restant (37,5 %) no es pot eliminar per aquesta via.